Question

【題目】已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE，OF分別平分∠AOD，∠BOD.

(1)如圖1，當OA，OC重合時，求∠EOF的度數；

(2)若將∠COD的從圖1的位置繞點O順時針旋轉，旋轉角∠AOC＝α，且0°＜α＜90°.

①如圖2，試判斷∠BOF與∠COE之間滿足的數量關系并說明理由.

②在∠COD旋轉過程中，請直接寫出∠BOE，∠COF，∠AOC之間的數量關系.

Answer 1

【答案】(1)∠EOF=50°；(2)①∠BOF+∠COE＝90°；理由見解析；②∠COF+∠AOC﹣∠BOE＝30°.

【解析】

(1)由題意得出∠AOD＝∠COD＝40°，∠BOD＝∠AOB+∠COD＝140°，由角平分線定義得出∠EOD＝∠AOD＝20°，∠DOF＝∠BOD＝70°，即可得出答案；

(2)①由角平分線定義得出∠EOD＝∠AOE＝∠AOD＝20°+α，∠BOF＝∠BOD＝70°+α，求出∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝20°﹣α，即可得出答案；

②由①得∠EOD＝∠AOE＝20°+α，∠DOF＝∠BOF＝70°+α，

當∠AOC＜40°時，求出∠COF＝∠DOF﹣∠COD＝30°+α，∠BOE＝∠BOD﹣∠EOD＝∠AOB+∠COD+α﹣∠EOD＝120°+α，即可得出答案；

當40°＜∠AOC＜90°時，求出∠COF＝∠DOF+∠DOC＝150°﹣α，∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝120°+，即可得出答案.

解：(1)∵OA，OC重合，

∴∠AOD＝∠COD＝40°，∠BOD＝∠AOB+∠COD＝100°+40°＝140°，

∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，

∴∠EOD＝∠AOD＝×40°＝20°，∠DOF＝∠BOD＝×140°＝70°，

∴∠EOF＝∠DOF﹣∠EOD＝70°﹣20°＝50°；

(2)①∠BOF+∠COE＝90°；理由如下：

∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，

∴∠EOD＝∠AOE＝∠AOD＝(40°+α)＝20°+α，∠BOF＝∠BOD＝(∠AOB+∠COD+α)＝(100°+40°+α)＝70°+α，

∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝20°+α﹣α＝20°﹣α，

∴∠BOF+∠COE＝70°+α+20°﹣α＝90°；

②由①得：∠EOD＝∠AOE＝20°+α，∠DOF＝∠BOF＝70°+α，

當∠AOC＜40°時，如圖2所示：

∠COF＝∠DOF﹣∠COD＝70°+α﹣40°＝30°+α，

∠BOE＝∠BOD﹣∠EOD＝∠AOB+∠COD+α﹣∠EOD＝100°+40°+α﹣(20°+α)＝120°+α，

∴∠BOE+∠COF﹣∠AOC＝120°+α+30°+α﹣α＝150°，

當40°＜∠AOC＜90°時，如圖3所示：

∠COF＝∠DOF+∠DOC＝(360°﹣140°﹣α)+40°＝150°﹣α，

∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝140°+α﹣(20°+α)＝120°+，

∴∠COF+∠AOC﹣∠BOE＝150°﹣+α﹣(120°+)＝30°；

綜上所述，∠BOE，∠COF，∠AOC之間的數量關系為∠BOE+∠COF﹣∠AOC＝150°或∠COF+∠AOC﹣∠BOE＝30°.