Question

【題目】如圖，中，，點是邊上一點且，點是線段上一動點，連接，以為斜邊在的下方作等腰，當從點出發(fā)運動至點停止時，點的運動路徑長為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

過O點作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，連接CO，如圖，易得四邊形OECF為矩形，由△AOP為等腰直角三角形得到OA=OP，∠AOP=90°，則可證明△OAE≌△OPF，所以AE=PF，OE=OF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理得到CO平分∠ACP，從而可判斷當P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點O的運動路徑為一條線段，接著證明CE=(AC+CP)，然后分別計算P點在D點和B點時OC的長，從而計算它們的差即可得到P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點O的運動路徑長．

過O點作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，連接CO，如圖，

∵△AOP為等腰直角三角形，

∴OA=OP，∠AOP=90°，

∵∠CEO=∠CFO=∠ECF=90°，

∴四邊形OECF為矩形，

∴∠EOF=90°，

∴∠AOE=∠POF，

又∵OA=OP，∠AEO=∠PFO=90°，

∴△OAE≌△OPF，

∴AE=PF，OE=OF，

∴四邊形OECF是正方形，

∴CE=CF=OE，

∵OE=OF，OE⊥CA，OF⊥BC，

∴CO平分∠ACP，

∴當P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點O的運動路徑為一條線段，

∵AE=PF，

即AC﹣CE=CF﹣CP，

而CE=CF，

∴CE=(AC+CP)，

在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∴CE2+OE2=OC2，

∴OC=CE=(AC+CP)，

當AC=2，CP=CD=1時，OC=×(2+1)=，

當AC=2，CP=CB=5時，OC=×(2+5)=，

∴當P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點O的運動路徑長=﹣=2，

故答案為：2．