Question

【題目】點E為正方形ABCD邊BC上的一點，點G為BC延長線一點，連接AE，過點E作AE⊥EF，且AE=EF，連接CF．

（1）如圖1，求證：∠FCG=45°，

（2）如圖2，過點D作DH//EF交AB于點H，連接HE，求證：；

（3）如圖3，連接AF、DF，若AF交CD于點M，DM=2，BH=3，求DF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）3．

【解析】

（1）過點F作FK⊥CG于點K，證出≌，得到BE=HF，再根據正四邊形的性質得到BC=AB=EH，從而計算出EH-EC=BC-EC，即BE=CH，故CH=HF，再根據∠CHF=90°，求出∠FCG=45°；

（2）利用角邊角定理證明△DAH≌△ABE，從而得到AH=BE，然后利用勾股定理進行證明；

（3）過點A作AO⊥AM交BC延長線于點O，連接EM，證≌，≌，結合△DAH≌△ABE，證平行四邊形HEFD，從而得到DF=HE ，設AH=BE=x，OE=EM=2+x，CM=x+1，然后在Rt△ECM中，利用勾股定理列方程求解．

解：（1）過點F作FK⊥CG于點K，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF=90°，

∴∠AEB+∠FEK=90°，

又∵∠BAE+∠AEB=90°，

∴∠FEK=∠EAB，

又∵∠B=∠EKF，

且AE=EF，

∴△ABE≌△EKF，

∴BE=KF，BC=AB=EK，

∴EK-EC=BC-EC，

∴BE=CK，

∴CK=KF．

∴∠FCK=∠CFK=

（2） ∵DH∥EF，AE⊥EF

∴AE⊥DH

∴∠EAD+∠ADH=90°

又∵正方形ABCD中，∠BAD=90°，AD=AB，∠DAB=∠B=90°

∴∠BAE+∠EAD=90°

∴∠BAE=∠ADH

∴△DAH≌△ABE

∴AH=BE

∵在Rt△BHE中，

∴

（3）過點A作AO⊥AM交BC延長線于點O，連接EM．

∵OA⊥AM，

∴∠OAM=90°

又因為正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°

∴∠OAM=∠BAD

∴∠OAM-∠BAM=∠BAD-∠BAM

∴∠OAB=∠MAD

∴≌

∴AO=AM

∵AE⊥EF，且AE=EF

∴∠EAM=45°

∴∠MAD+∠BAE=45°

∴∠OAB+∠BAE=45°

∴∠OAE=∠EAM

又∵AE=AE

∴≌

∴OE=EM

由（2）可知△DAH≌△ABE

∴DH=AE

∴DH=EF，且DH//EF

∴四邊形HEFD為平行四邊形，

∴DF=HE

設AH=BE=x，OE=EM=OB+DE=DM+BE2+x，CM=CD-DM=x+1，

∴在Rt△ECM中，，解得x=3

在Rt△BEH中，

∴DF=3．