Question

【題目】如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AC是直徑，∠A=30°，BC=2，點D是AB的中點，連接DO并延長交⊙O于點P，過點P作PF⊥AC于點F．

（1）求劣弧PC的長；（結果保留π）

（2）求陰影部分的面積．（結果保留π）．

Answer 1

【答案】（1）π；（2）π﹣．

【解析】

試題分析：（1）根據垂徑定理求得PD⊥AB，然后根據30°角的直角三角形的性質求得OA=2OD，進而求得OF=OP，根據三角形中位線的性質求得OD=BC，從而求得OA=2，然后根據弧長公式即可求得劣弧PC的長；

（2）求得OF和PF，然后根據S陰影=S扇形﹣S△OPF即可求得．

解：（1）∵點D是AB的中點，PD經過圓心，

∴PD⊥AB，

∵∠A=30°，

∴∠POC=∠AOD=60°，OA=2OD，

∵PF⊥AC，

∴∠OPF=30°，

∴OF=OP，

∵OA=OC，AD=BD，

∴BC=2OD，

∴OA=BC=2，

∴⊙O的半徑為2，

∴劣弧PC的長===π；

（2）∵OF=OP，

∴OF=1，

∴PF==，

∴S陰影=S扇形﹣S△OPF=﹣×1×=π﹣．