Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（4，﹣ ），且與y軸交于點C（0，2），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊）．

（1）求拋物線的解析式及A、B兩點的坐標；
（2）在（1）中拋物線的對稱軸l上是否存在一點P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，請說明理由；
（3）以AB為直徑的⊙M相切于點E，CE交x軸于點D，求直線CE的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，設拋物線的解析式為y=a（x﹣4）2﹣ （a≠0）

∵拋物線經過（0，2）

∴a（0﹣4）2﹣ =2

解得：a=

∴y= （x﹣4）2﹣

即：y= x2﹣ x+2

當y=0時， x2﹣ x+2=0

解得：x=2或x=6

∴A（2，0），B（6，0）

（2）解：存在，如圖2，

由（1）知：拋物線的對稱軸l為x=4，

因為A、B兩點關于l對稱，連接CB交l于點P，則AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小

∵B（6，0），C（0，2）

∴OB=6，OC=2

∴BC=2 ，

∴AP+CP=BC=2

∴AP+CP的最小值為2

（3）解：如圖3，連接ME

∵CE是⊙M的切線

∴ME⊥CE，∠CEM=90°

∵C的坐標（0，2），

∴OC=2，

∵AB=4，

∴ME=2

∴OC=ME=2，

∵∠ODC=∠MDE，

∵在△COD與△MED中

∴△COD≌△MED（AAS），

∴OD=DE，DC=DM

設OD=x

則CD=DM=OM﹣OD=4﹣x

則Rt△COD中，OD2+OC2=CD2，

∴x2+22=（4﹣x）2

∴x=

∴D（ ，0）

設直線CE的解析式為y=kx+b（k≠0），

∵直線CE過C（0，2），D（ ，0）兩點，

則

解得：

∴直線CE的解析式為y=﹣ +2；

【解析】（1）已知頂點坐標，因此函數解析式設成頂點式，再將點C的坐標代入即可求得函數解析式，由y=0，建立方程求解即可得到拋物線與x軸的兩交點坐標。
（2）要在拋物線的對稱軸l上求作點P，使AP+CP的值，拋物線是關于對稱軸對稱，點A關于直線l的對稱點是點B，因此連接BC交直線l于點P，要求AP+CP的值，可證得AP+CP=BC，再Rt△OBC中根據勾股定理即可求出BC的長。
（3）由已知點A、B的坐標及AB時直徑，可證得OC=ME，即可證明△COD≌△MED，得出OD=DE，DC=DM。運用勾股定理Rt△COD中，求出OD的長，即可求出點D的坐標，利用待定系數法，即可直線CE的解析式。
【考點精析】認真審題，首先需要了解確定一次函數的表達式(確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法)，還要掌握切線的性質定理(切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑)的相關知識才是答題的關鍵．