Question

3．已知三個非負實數a，b，c，滿足3a+2b+c=5，2a+b-3c=1，若s=3a+b-7c的最大值為m，最小值為n，則mn=-$\frac{5}{77}$．

Answer 1

分析 聯立兩等式后求出a與b，然后將a與b代入s中，化為一次函數最值問題，利用非負實數求出c的范圍即可求出m與n的值．

解答 解：聯立$\left\{\begin{array}{l}{3a+2b=5-c}\\{2a+b=1+3c}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=7c-3}\\{b=7-11c}\end{array}\right.$
∵a、b、c都是非負實數，
∴$\left\{\begin{array}{l}{7c-3≥0}\\{7-11c≥0}\\{c≥0}\end{array}\right.$
解得：$\frac{3}{7}$≤c≤$\frac{7}{11}$
∴s=3a+b-7c
=3（7c-3）+（7-11c）-7c
=3c-2
∴當c=$\frac{7}{11}$時，
s的最大值為：m=-$\frac{1}{11}$，
當c=$\frac{3}{7}$時，
s的最小值為：n=-$\frac{5}{7}$
∴mn=$\frac{5}{77}$
故答案為：$\frac{5}{77}$

點評 本題考查一次函數的綜合問題，解題的關鍵是列出方程組求出a與b的表達式，然后利用一元一次不等式組求出c的范圍，本題屬于中等題型．