Question

【題目】如圖，拋物線y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）與x軸交于A、B兩點，拋物線上另有一點C在x軸下方，且使△OCA∽△OBC．

（1）求線段OC的長度；

（2）設直線BC與y軸交于點M，點C是BM的中點時，求直線BM和拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，直線BC下方拋物線上是否存在一點P，使得四邊形ABPC面積最大？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）OC=；（2）y=x﹣，拋物線解析式為y=x2﹣x+2；（3）點P存在，坐標為（，﹣）．

【解析】

（1）令y=0，求出x的值，確定出A與B坐標，根據已知相似三角形得比例，求出OC的長即可；

（2）根據C為BM的中點，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OC=BC，確定出C的坐標，利用待定系數法確定出直線BC解析式，把C坐標代入拋物線求出a的值，確定出二次函數解析式即可；

（3）過P作x軸的垂線，交BM于點Q，設出P與Q的橫坐標為x，分別代入拋物線與直線解析式，表示出坐標軸，相減表示出PQ，四邊形ACPB面積最大即為三角形BCP面積最大，三角形BCP面積等于PQ與B和C橫坐標之差乘積的一半，構造為二次函數，利用二次函數性質求出此時P的坐標即可．

（1）由題可知當y=0時，a（x﹣1）（x﹣3）=0，

解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），

∴OA=1，OB=3

∵△OCA∽△OBC，

∴OC：OB=OA：OC，

∴OC2=OAOB=3，

則OC=；

（2）∵C是BM的中點，即OC為斜邊BM的中線，

∴OC=BC，

∴點C的橫坐標為，

又OC=，點C在x軸下方，

∴C（，﹣），

設直線BM的解析式為y=kx+b，

把點B（3，0），C（，﹣）代入得：，

解得：b=﹣，k=，

∴y=x﹣，

又∵點C（，﹣）在拋物線上，代入拋物線解析式，

解得：a=，

∴拋物線解析式為y=x2﹣x+2；

（3）點P存在，

設點P坐標為（x，x2﹣x+2），過點P作PQ⊥x軸交直線BM于點Q，

則Q（x，x﹣），

∴PQ=x﹣﹣（x2﹣x+2）=﹣x2+3x﹣3，

當△BCP面積最大時，四邊形ABPC的面積最大，

S△BCP=PQ（3﹣x）+PQ（x﹣）=PQ=﹣x2+x﹣，

當x=﹣時，S△BCP有最大值，四邊形ABPC的面積最大，此時點P的坐標為（，﹣）．