Question

【題目】如圖，拋物線 與 x 軸交于點 A、B，與 y 軸交于點 C，且 OC＝2OB， 點 D 為線段 OB 上一動點(不與點 B 重合)，過點 D 作矩形 DEFH，點 H、F 在拋物線上，點 E 在 x 軸 上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當矩形 DEFH 的周長最大時，求矩形 DEFH 的面積；

（3）在（2）的條件下，矩形 DEFH 不動，將拋物線沿著 x 軸向左平移 m 個單位，拋物線與矩形 DEFH的邊交于點 M、N，連接 M、N．若 MN 恰好平分矩形 DEFH 的面積，求 m 的值．

Answer 1

【答案】(1)拋物線的解析式為; (2)10; (3)m的值為：

【解析】

（1）先求出點C的坐標，由OC=2OB，可得點B坐標，將點B坐標代入 可求出a的值，即可寫出拋物線的解析式;

(2)設點D坐標為(x，0)用含x的代數式表示出矩形DEFH的周長,用函數的思想求出取其最大值時x的值，即求出點D的坐標,進一步可求出矩形DEFH的面積:

(3)如圖，連接BH，EH, DF.設EH與DF交于點G,過點G作BH的平行線，交ED于M. 交HF于點N,則直線MN將矩形DEFH的面積分成相等的兩半，依次求出直線BH. MN的解析式，再求出點M的坐標，即可得出m的值.

解: (1)在拋物線 中,

當x=0時, y=-4.

∴C (0,-4)

∴OC=4.

∵OC=2OB.

∴OB=2. .

∴B(2.0).

將B (2, 0)代入,得，

∴a=;

∴拋物線的解析式為

(2)設點D坐標為(x, 0) ,

∵四邊形DEFH為矩形.

∴,

∵

∴拋物線對稱軸為x=-1,

∴點H到對稱軸的距離為x+1.

由對稱性可知DE=FH=2x+2,

∴矩形DEFH的周長為：

∴當x=1時，矩形DEFH周長取得最大值13,

∴此時

∴HF=2x+2=4. DH=

∴

(3)如圖,連接BH, EH, DF.設EH與DF交于點G,

過點G作BH的平行線，交ED于M,交HF于點N,則直線MN將矩形DEFH的面積分成相等的兩半,

由(2)知，拋物線對稱軸為x=-1, ，

∴

設直線BH的解析式為y=kx+b,

將點B (2. 0)，代入, 得,

解得

∴直線BH的解析式為.

∴可設直線MN的解析式為

將點 代入,得

∴直線MN的解析式為

當y=0時，

∴

∵B(2,0)，

∴將拋物線沿著x軸向左平移個單位，拋物線與矩形DEFH的邊交于點M、N,連接M、N,則MN恰好平分矩形DEFH的面積,

∴m的值為：