Question

【題目】如圖①點A，B，C，D在同一直線上，AB=CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE=DF．
（1）證明：EF平分線段BC；
（2）若△BFD沿AD方向平移得到圖②時，其他條件不變，（1）中的結論是否仍成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，

∴∠ACE=∠DBF=90°，

∵AB=CD，

∴AB+BC=BC+CD，即AC=DB，

在Rt△ACE和Rt△DBF中，

，

∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），

∴CE=FB，

在△CEG和△BFG中，

，

∴△CEG≌△BFG（AAS），

∴CG=BG，即EF平分線段BC；

（2）（1）中結論成立，理由為：

證明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，

∴∠ACE=∠DBF=90°，

∵AB=CD，

∴AB﹣BC=CD﹣BC，即AC=DB，

在Rt△ACE和Rt△DBF中，

，

∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），

∴CE=FB，

在△CEG和△BFG中，

，

∴△CEG≌△BFG（AAS），

∴CG=BG，即EF平分線段BC．

【解析】（1）由AB=CD，利用等式的性質得到AC=BD，再由AE=DF，利用HL得到直角三角形ACE與直角三角形DBF全等，利用全等三角形對應邊相等得到EC=BF，再利用AAS得到三角形ECG與三角形FBG全等，利用全等三角形對應邊相等得到BG=CG，即可得證；（2）（1）中的結論成立，理由為：由AC=DB，利用等式的性質得到AC=BD，再由AE=DF，利用HL得到直角三角形ACE與直角三角形DBF全等，利用全等三角形對應邊相等得到EC=BF，再利用AAS得到三角形ECG與三角形FBG全等，利用全等三角形對應邊相等得到BG=CG，即可得證．
【考點精析】通過靈活運用平移的性質，掌握①經過平移之后的圖形與原來的圖形的對應線段平行（或在同一直線上）且相等，對應角相等，圖形的形狀與大小都沒有發生變化；②經過平移后，對應點所連的線段平行（或在同一直線上）且相等即可以解答此題．