Question

【題目】已知二次函數y＝﹣x2+x+6及一次函數y＝x+m，將該二次函數在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個新圖象（如圖所示），當直線y＝x+m與這個新圖象有四個交點時，m的取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】﹣7＜m＜﹣3．

【解析】

如圖，解方程﹣x2+x+6=0得A（﹣2，0），B（3，0），再利用折疊的性質求出折疊部分的解析式為y=（x+2）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直線y=x+m經過點A（﹣2，0）時m的值和當直線y=x+m與拋物線y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共點時m的值，從而得到當直線y=x+m與新圖象有4個交點時，m的取值范圍．

解：如圖所示，過點B作直線y＝x+m1，將直線向下平移到恰在點C處相切，

則一次函數y＝x+m在兩條直線之間時，兩個圖象有4個交點，

令y＝﹣x2+x+6＝0，解得：x＝﹣2或3，即點B坐標（3，0），

翻折拋物線的表達式為：y＝（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）,

將一次函數與二次函數表達式聯立并整理得：x2﹣2x﹣6﹣m＝0，

△＝b2﹣4ac＝4+4（6+m）＝0，解得：m＝﹣7，

當一次函數過點B時，將點B坐標代入：y＝x+m得：0＝3+m，解得：m＝﹣3，

所以當直線y＝x+m與這個新圖象有四個交點時，m的取值范圍是﹣7＜m＜﹣3.