Question

【題目】如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，直徑AB＝10．sinA＝，點D為線段AC上一動點（不運動至端點A、C），作DF⊥AB于F，連結BD，井延長BD交⊙O于點H，連結CF．

（1）當DF經過圓心O時，求AD的長；

（2）求證：△ACF∽△ABD；

（3）求CFDH的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）當x＝4時，CFDH的最大值為

【解析】

（1）由AB是直徑知∠ACB＝90°，依據三角函數求出BC＝6，由勾股定理求出AC＝8，由AB⊥DE知∠AFD＝∠ACB＝90°，結合∠A為公共角可證△ADF∽△ABC，得出對應邊成比例，即可求出AD的長；

（2）由△ADF∽△ABC知，結合∠A為△ACF和△ABD的公共角可證△ACF∽△ABD；

（3）連接CH，先證△ACH∽△HCD得出比例式，即CFDH＝CDAF，再設AD＝x，則CD＝8﹣x，AF＝x，從而得出CFDH＝﹣（x﹣4）2+，利用二次函數的性質求解可得．

（1）當DF經過圓心O時，AF＝OA＝5，

∵AB為直徑，AB＝10，

∴∠ACB＝90°，

∴sinA＝，

∴BC＝6，

由勾股定理得：，

∵AB⊥DE，

∴∠AFD＝∠ACB＝90°，

∵∠A＝∠A，

∴△ADF∽△ABC，

∴，

∴；

（2）證明：由（1）得：△ADF∽△ABC，

∴，即，

又∵∠A為△ACF和△ABD的公共角，

∴△ACF∽△ABD；

（3）連接CH，如圖所示：

由（2）知△ACF∽△ABD，

∴∠ABD＝∠ACF，

∵∠ABD＝∠ACH，

∴∠ACH＝∠ACF，

又∵∠CAF＝∠H，

∴△ACH∽△HCD，

∴，即CFDH＝CDAF，

設AD＝x，則CD＝8﹣x，AF＝x，

∴CFDH＝x（8﹣x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣4）2+，

∴當x＝4時，CFDH的最大值為．