Question

【題目】如圖放置的兩個正方形，大正方形ABCD邊長為a，小正方形CEFG邊長為b(a＞b),M在邊BC上，且BM=b，連AM，MF，MF交CG于點P，將△ABM繞點A旋轉至△ADN，將△MEF繞點F旋轉至△NGF。給出以下五種結論：∠MAD=∠AND；CP= ；ΔABM≌ΔNGF；④S四邊形AMFN=a2+b2；⑤A，M，P，D四點共線

其中正確的個數是（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Answer 1

【答案】D

【解析】試題解析：①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°，∴∠BAM+∠DAM=90°，∵將△ABM繞點A旋轉至△ADN，∴∠NAD=∠BAM，∠AND=∠AMB，∴∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°，∴∠DAM=∠AND，故①正確；

②∵四邊形CEFG是正方形，∴PC∥EF，∴△MPC∽△EMF，∴，∵大正方形ABCD邊長為a，小正方形CEFG邊長為b（a＞b），BM=b，∴EF=b，CM=a﹣b，ME=（a﹣b）+b=a，∴，∴CP= ；故②正確；

③∵將△MEF繞點F旋轉至△NGF，∴GN=ME，∵AB=a，ME=a，∴AB=ME=NG，在△ABM與△NGF中，∵AB=NG=a，∠B=∠NGF=90°，GF=BM=b，∴△ABM≌△NGF；故③正確；

④∵將△ABM繞點A旋轉至△ADN，∴AM=AN，∵將△MEF繞點F旋轉至△NGF，∴NF=MF，∵△ABM≌△NGF，∴AM=NF，∴四邊形AMFN是矩形，∵∠BAM=∠NAD，∴∠BAM+DAM=∠NAD+∠DAN=90°，∴∠NAM=90°，∴四邊形AMFN是正方形，∵在Rt△ABM中，a2+b2=AM2，∴S四邊形AMFN=AM2=a2+b2；故④正確；

⑤∵四邊形AMFN是正方形，∴∠AMP=90°，∵∠ADP=90°，∴∠ABP+∠ADP=180°，∴A，M，P，D四點共圓，故⑤正確．

故選D．