Question

（本題滿分8分）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，C為BD弧的中點，AC、BD交于點E．
（1）求證：△CBE∽△CAB；
（2）若S_△CBE∶S_△CAB＝1∶4，求sin∠ABD的值．

Answer 1

（1）證明：∵點C為弧BD的中點，∴∠DBC＝∠BAC，

在△CBE與△CAB中；
∠DBC＝∠BAC，∠BCE＝∠ACB，
∴△CBE∽△CAB．         ……4分
（2）解：連接OC交BD于F點，則OC垂直平分BD
∵S_△CBE：S_△CAB＝1:4，△CBE∽△CAB
∴AC：BC＝BC：EC＝2:1，∴AC＝4EC
∴AE：EC＝3：1
∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°
∴AD∥OC，則AD：FC＝AE：EC＝3:1
設FC＝a，則AD＝3a，   
∵F為BD的中點，O為AB的中點，
∴OF是△ABD的中位線，則OF＝AD＝1.5a， 
∴OC＝OF+FC＝1.5a+a＝2.5a，則AB＝2OC＝5a，
在Rt△ABD中，sin∠ABD＝＝   …………………………8分
（本題方法眾多，方法不唯一，請酌情給分）

略