Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝kx+b與x軸交于點A（5，0），與y軸交于點B；直線y═x+6過點B和點C，且AC⊥x軸．點M從點B出發以每秒2個單位長度的速度沿y軸向點O運動，同時點N從點A出發以每秒3個單位長度的速度沿射線AC向點C運動，當點M到達點O時，點M、N同時停止運動，設點M運動的時間為t（秒），連接MN．

（1）求直線y＝kx+b的函數表達式及點C的坐標；

（2）當MN∥x軸時，求t的值；

（3）MN與AB交于點D，連接CD，在點M、N運動過程中，線段CD的長度是否變化？如果變化，請直接寫出線段CD長度變化的范圍；如果不變化，請直接寫出線段CD的長度．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+6，點C的坐標為（5，10）；（2）t＝；（3）線段CD的長度不變化，CD＝．理由見解析

【解析】

（1）先求出點C和點B的坐標，再根據待定系數法，即可求得答案；

（2）分別用含t的代數式表示OM和AN的長，列出關于t的方程，即可求解；

（3）過點D作EF∥x軸，交OB于E，交AC于F，由△BDM∽△ADN，得，從而得DF的長，由△BDE∽△ADF，得EO＝FA＝，從而得CF的長，進而即可求解．

（1）∵AC⊥x軸，點A（5，0），

∴點C的橫坐標為5，

對于y═x+6，當x＝5時，y＝×5+6＝10，

對于x＝0，y＝6，

∴點C的坐標為（5，10），點B的坐標為（0，6），

∵直線y＝kx+b與x軸交于點A（5，0），與y軸交于點B（0，6），

∴，解得，，

∴直線y＝kx+b的函數表達式為：y＝﹣x+6，

綜上所述，直線y＝kx+b的函數表達式為y＝﹣x+6，點C的坐標為（5，10）；

（2）由題意得，BM＝2t，AN＝3t，

∴OM＝6﹣2t，

∵當OM＝AN時，OM∥AN，

∴四邊形EOAF為平行四邊形，

∴MN∥x軸，

∴6﹣2t＝3t，

解得，t＝，

∴當MN∥x軸時，t＝；

（3）線段CD的長度不變化，理由如下：

過點D作EF∥x軸，交OB于E，交AC于F，

∵EF∥x軸，BM∥AN，∠AOE＝90°，

∴四邊形EOAF為矩形，

∴EF＝OA＝5，EO＝FA，

∵BM∥AN，

∴△BDM∽△ADN，

∴

∵EF＝5，

∴DE＝2，DF＝3，

∵BM∥AN，

∴△BDE∽△ADF，

∴，

∴，

∵OB＝6，

∴EO＝FA＝，

∴CF＝AC﹣FA＝，

∴CD＝＝．