Question

【題目】已知四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠ABC=2∠D，連接OC、OA、AC．
（1）如圖①，求∠OCA的度數；
（2）如圖②，連接OB、OB與AC相交于點E，若∠COB=90°，OC=2 ，求BC的長和陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，

∴∠ABC+∠D=180°，

∵∠ABC=2∠D，

∴∠D+2∠D=180°，

∴∠D=60°，

∴∠AOC=2∠D=120°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=30°

（2）解：∵∠COB=3∠AOB，

∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，

∴∠AOB=30°，

∴∠COB=∠AOC﹣∠AOB=90°，

在Rt△OCE中，OC=2 ，

∴OE=OCtan∠OCE=2 tan30°=2 × =2，

∴S△OEC= OEOC= ×2×2 =2 ，

∴S扇形OBC= =3π，

∴S陰影=S扇形OBC﹣S△OEC=3π﹣2

【解析】（1）根據四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形得到∠ABC+∠D=180°，根據∠ABC=2∠D得到∠D+2∠D=180°，從而求得∠D=60°，最后根據OA=OC得到∠OAC=∠OCA=30°；（2）由∠COB為直角，然后利用S陰影=S扇形OBC﹣S△OEC求解．
【考點精析】掌握圓內接四邊形的性質和扇形面積計算公式是解答本題的根本，需要知道把圓分成n(n≥3):1、依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形2、經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．