Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD，垂足為E，DA平分∠BDE．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OA，

∵DA平分∠BDE，

∴∠BDA=∠EDA．

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠OAD=∠EDA，

∴OA∥CE．

∵AE⊥CE，

∴AE⊥OA．

∴AE是⊙O的切線

（2）解：∵BD是直徑，

∴∠BCD=∠BAD=90°．

∵∠DBC=30°，∠BDC=60°，

∴∠BDE=120°．

∵DA平分∠BDE，

∴∠BDA=∠EDA=60°．

∴∠ABD=∠EAD=30°．

∵在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°，

∴AD=2DE．

∵在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，

∴BD=2AD=4DE．

∵DE的長是1cm，

∴BD的長是4cm．

【解析】（1）連接OA，根據角之間的互余關系可得∠OAE=∠DEA=90°，故AE⊥OA，即AE是⊙O的切線；（2）根據圓周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°，有AD=2DE；在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，有BD=2AD=4DE，即可得出答案．