Question

如圖，點I是△ABC的內心，線段AI的延長線交△ABC的外接圓于點D，交BC邊于點E．
（1）求證：ID=BD；
（2）設△ABC的外接圓的半徑為5，ID=6，AD=x，DE=y，當點A在優弧

BC

上運動時，求y與x的函數關系式，并指出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）要證明ID=BD，只要求得∠BID=∠IBD即可；
（2）根據已知及相似三角形的判定方法得到△ABD∽△BED，根據相似比可得出y與x的函數關系式，再根據已知不難得到自變量x的取值范圍．

解答：（1）證明：∵點I是△ABC的內心
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI（2分）
∵∠CBD=∠CAD
∴∠BAD=∠CBD（3分）
∴∠BID=∠ABI+∠BAD，
∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD
∴ID=BD；（5分）

（2）解：∵∠BAD=∠CBD=∠EBD，∠D=∠D
∴△ABD∽△BED（7分）
∴

BD

DE

=

AD

BD

∴AD×DE=BD²=ID²（8分）
∵ID=6，AD=x，DE=y
∴xy=36（9分）
又∵x=AD＞ID=6，AD不大于圓的直徑10
∴6＜x≤10
∴y與x的函數關系式是y=

36

x

（6＜x≤10）．（10分）
說明：只要求對xy=36與6＜x≤10，不寫最后一步，不扣分．

點評：考查圓周角定理，相似三角形的判定，根據實際問題列反比例函數關系式．