Question

4．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，AD=CD，點E在AD上，DE=BD，M、N分別是AB、CE的中點．
（1）求證：△ADB≌△CDE；
（2）求∠MDN的大小．

Answer 1

分析 （1）由垂直的定義得到∠ADB=∠ADC=90°，根據已知條件即可得到結論；
（2）根據全等三角形的性質得到∠BAD=∠DCE，根據直角三角形的性質得到AM=DM，DN=CN，由等腰三角形的性質得到∠MAD=∠MDA，∠NCD=∠NDC，等量代換得到∠ADM=∠CDN，即可得到結論．

解答 （1）證明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△ABD與△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADB=∠ADC}\\{DB=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CDE；

（2）解：∵△ABD≌△CDE，
∴∠BAD=∠DCE，
∵M、N分別是AB、CE的中點，
∴AM=DM，DN=CN，
∴∠MAD=∠MDA，∠NCD=∠NDC，
∴∠ADM=∠CDN，
∵∠CDN+∠ADN=90°，
∴∠ADM+∠ADN=90°，
∴∠MDN=90°．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，熟練掌握全等三角形的性質定理是解題的關鍵．