Question

【題目】從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線．

（1）如圖，在中，CD為角平分線，，，求證：CD為的完美分割線．

（2）如圖，中，，，CD是的完美分割線，且是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長．

（3）在中，，CD是的完美分割線，且為等腰三角形，直接寫出∠ACB的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）96°或114°

【解析】

（1）根據完美分割線的定義只要證明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可；

（2）設BD=x，利用△BCD∽△BAC，列出方程即可解決問題；

（3）分三種情形討論即可：①如圖a，當AD=CD時，②如圖b中，當AD=AC時，③如圖c中，當AC=CD時，分別求出∠ACB即可．

（1）證明：∵∠A=40°，∠B=60°，

∴∠ACB=80°，

∴△ABC不是等腰三角形，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，

∴∠ACD=∠A=40°，

∴△ACD為等腰三角形，

∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，

∴△BCD∽△BAC，

∴CD是△ABC的完美分割線；

（2）解：由已知AC=AD=2，

∵△BCD∽△BAC，

∴

設BD=x，

∴，

∵x＞0，

∴x=，

∵△BCD∽△BAC，

∴，即，

∴CD=．

（3）解：①當AD=CD時，如圖a，

∠ACD=∠A=48°，

∵△BDC∽△BCA，

∴∠BCD=∠A=48°，

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°，

②當AD=AC時，如圖b中，

∠ACD=∠ADC==66°，

∵△BDC∽△BCA，

∴∠BCD=∠A=48°，

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°；

③當AC=CD時，如圖c中，∠ADC=∠A=48°，

∵△BDC∽△BCA，

∴∠BCD=∠A=48°，

∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍棄．

綜上所述，∠ACB=96°或114°；