Question

如圖1，正方形ABCD中，點E、F分別在邊DC、AD上，且AE⊥BF于G.

（1）求證：BF＝AE；
（2）如圖2，當點E在DC延長線上，點F在AD延長線上時，（1）中結論是否成立（直接寫結論）；
（3）在圖2中，若點M、N、P、Q分別為四邊形AFEB四條邊AF、EF、EB、AB的中點，且AF:AD＝4:3，求S_{四邊形MNPQ}: S_{正方形ABCD}

Answer 1

（1）∵正方形ABCD
∴AD=AB，∠ADC=∠DAB=90°
∴∠DAE+∠ABG=90°
∵AE⊥BF
∴∠ABG+∠GAB=90°
∴∠DAE=∠ABG
∴△ADE≌△BAF
∴BF＝AE；
（2）結論成立；
（3）25：36

試題分析：（1）根據正方形的性質及同角的余角相等即可證得△ADE≌△BAF，問題得證；
（2）證法同（1）；
（3）先根據三角形的中位線定理證得MNPQ為正方形，再舍AD＝3a，則BF＝5a，MQ＝，再根據正方形的面積公式即可得到結果.
（1）∵正方形ABCD
∴AD=AB，∠ADC=∠DAB=90°
∴∠DAE+∠ABG=90°
∵AE⊥BF
∴∠ABG+∠GAB=90°
∴∠DAE=∠ABG
∴△ADE≌△BAF
∴BF＝AE；
（2）結論成立；
（3）∵點M、N分別為四邊形AFEB四條邊AF、EF的中點，
∴MN∥AE且MN=AE，
同理可證：MQ∥BF且MQ=BF，PQ∥AE且PQ=AE，NP∥BF且NP=BF
∵AE=BF
∴MN=MQ=PQ=NP
∴四邊形MNPQ是菱形
∵AE⊥BF
∴∠MQP=90°
∴四邊形MNPQ是正方形
設AD＝3a，則BF＝5a　
∴MQ＝
∴S_{四邊形MNPQ}：S_正ABCD＝MQ²：AD²＝（）²　：（3a）²＝25：36.
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半.