Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，E為斜邊AB的中點，點P是射線BC上的一個動點，連接AP、PE，將△AEP沿著邊PE折疊，折疊后得到△EPA′，當折疊后△EPA′與△BEP的重疊部分的面積恰好為△ABP面積的四分之一，則此時BP的長為_____．

Answer 1

【答案】2或2

【解析】

根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可求出AB，即可得到AE的值，然后根據勾股定理求出BC．①若PA'與AB交于點F，連接A'B，如圖1，易得S△EFPS△BEPS△A'EP，即可得到EFBE=BF，PFA'P=A'F．從而可得四邊形A'EPB是平行四邊形，即可得到BP=A'E，從而可求出BP；②若EA'與BC交于點G，連接AA'，交EP與H，如圖2，同理可得GP=BG，EGEA'=1，根據三角形中位線定理可得AP=2=AC，此時點P與點C重合（BP=BC），從而可求出BP．

∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，E為斜邊AB的中點，

∴AB=4，AEAB=2，BC=2．

①若PA'與AB交于點F，連接A'B，如圖1．

由折疊可得S△A'EP=S△AEP，A'E=AE=2．

∵點E是AB的中點，

∴S△BEP=S△AEPS△ABP．

由題可得S△EFPS△ABP，

∴S△EFPS△BEPS△AEPS△A'EP，

∴EFBE=BF，PFA'P=A'F，

∴四邊形A'EPB是平行四邊形，

∴BP=A'E=2；

②若EA'與BC交于點G，連接AA'，交EP與H，如圖2．

．

同理可得GPBP=BG，EGEA'2=1．

∵BE=AE，

∴EGAP=1，

∴AP=2=AC，

∴點P與點C重合，

∴BP=BC=2．

故答案為：2或2．