Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+3與x軸和y軸的正半軸分別交于A、B兩點，且OA＝OB，拋物線的頂點為M，聯結AB、AM．

（1）求這條拋物線的表達式和點M的坐標；

（2）求sin∠BAM的值；

（3）如果Q是線段OB上一點，滿足∠MAQ＝45°，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，頂點M（1，4）；（2）；（3）Q（0，1）．

【解析】

（1）拋物線y＝﹣x2+bx+3與y軸交于B點，令x=0得y=3，可得B（0，3），而AO=BO可得A（3，0），然后用待定系數法解答即可；

（2）先說明∠MBA=90°，則即可；

（3）先明∠BAM=∠OAQ，然后運用正弦、正切的定義求解即可．

解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+3與y軸交于B點，

令x＝0得y＝3，

∴B（0，3），

∵AO＝BO，

∴A（3，0），

把A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+3，得﹣9+3b+3＝0，

解得b＝2，

∴這條拋物線的表達式y＝﹣x2+2x+3，

頂點M（1，4）；

（2）∵A（3，0），B（0，3）M（1，4），

∴BM2＝2，AB2＝18，AM2＝20，

∴∠MBA＝90°，

∴；

（3）∵OA＝OB，

∴∠OAB＝45°

∵∠MAQ＝45°，

∴∠BAM＝∠OAQ，

由（2）得，

∴，

∴，

∴，

∴OQ＝1，

∴Q（0，1）．