Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=mx2+4mx﹣5m（m＜0）與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），該拋物線的對稱軸與直線y= x相交于點E，與x軸相交于點D，點P在直線y= x上（不與原點重合），連接PD，過點P作PF⊥PD交y軸于點F，連接DF．

（1）如圖①所示，若拋物線頂點的縱坐標為6 ，求拋物線的解析式；
（2）求A、B兩點的坐標；
（3）如圖②所示，小紅在探究點P的位置發現：當點P與點E重合時，∠PDF的大小為定值，進而猜想：對于直線y= x上任意一點P（不與原點重合），∠PDF的大小為定值．請你判斷該猜想是否正確，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=mx2+4mx﹣5m，

∴y=m（x2+4x﹣5）=m（x+5）（x﹣1）．

令y=0得：m（x+5）（x﹣1）=0，

∵m≠0，

∴x=﹣5或x=1．

∴A（﹣5，0）、B（1，0）．

∴拋物線的對稱軸為x=﹣2．

∵拋物線的頂點坐標為為6 ，

∴﹣9m=6 ．

∴m=﹣ ．

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣ x+

（2）

解：由（1）可知：A（﹣5，0）、B（1，0）

（3）

解：如圖所示：

∵OP的解析式為y= x，

∴∠AOP=30°．

∴∠PBF=60°

∵PD⊥PF，FO⊥OD，

∴∠DPF=∠FOD=90°．

∴∠DPF+∠FOD=180°．

∴點O、D、P、F共圓．

∴∠PDF=∠PBF．

∴∠PDF=60°．

【解析】（1）先提取公式因式將原式變形為y=m（x2+4x﹣5），然后令y=0可求得函數圖象與x軸的交點坐標，從而可求得點A、B的坐標，然后依據拋物線的對稱性可得到拋物線的對稱軸為x=﹣2，故此可知當x=﹣2時，y=6 ，于是可求得m的值；（2）由（1）的可知點A、B的坐標（3）先由一次函數的解析式得到∠PBF的度數，然后再由PD⊥PF，FO⊥OD，證明點O、D、P、F共圓，最后依據圓周角定理可證明∠PDF=60°．本題主要考查的是二次函數的性質、解一元二次方程、函數圖象與坐標軸的交點，四點共圓、圓周角定理的應用，證得點O、D、P、F共圓是解題的關鍵．
【考點精析】掌握因式分解法和二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道已知未知先分離，因式分解是其次．調整系數等互反，和差積套恒等式．完全平方等常數，間接配方顯優勢；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．