Question

【題目】如圖，點A（－2，n），B（1，－2）是一次函數y＝kx＋b的圖象和反比例函數y＝的圖象的兩個交點．

（1）求反比例函數和一次函數的解析式；

（2）根據圖象寫出，當kx＋b<時，x的取值范圍；

（3）若C是x軸上一動點，設t＝CB－CA，求t的最大值，并求出此時點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數的解析式為，一次函數的解析式為；（2）或；（3）C點坐標為（－5，0），t的最大值為．

【解析】

（1）先將點代入反比例函數可求出其解析式，從而可得點A的坐標，再利用待定系數法可求出一次函數的解析式；

（2）根據點A、B的坐標，利用圖象法求解即可得；

（3）如圖（見解析），作點A關于x軸的對稱點，從而可得點的坐標，再根據三角形的三邊關系定理得出t取得最大值時，點的位置，然后利用兩點之間的距離公式可求出t的最大值，又利用待定系數法求出直線的解析式，再令可求出點C的坐標．

（1）將點代入反比例函數得：，解得

則反比例函數的解析式為

當時，，即點

將，代入一次函數的解析式得：

解得

則一次函數的解析式為；

（2）表示的是一次函數的圖象位于反比例函數圖象的下方，求出此時的x取值范圍即可

則結合，可得：或

故x的取值范圍為或；

（3）如圖，作點A關于x軸的對稱點

則點的坐標為，

因此有

由三角形的三邊關系定理得：

當且僅當三點共線時，t取得最大值，最大值為

由兩點之間的距離公式得：

即t的最大值為

設直線的解析式為

將，代入得：

解得

則直線的解析式為

令得，解得

則點C的坐標為．