Question

【題目】在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=5cm,BC=11cm,點P從點D開始沿DA邊以每秒1cm的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊以每秒2cm的速度移動（當點P到達點A時，點P與點Q同時停止移動），假設點P移動的時間為x（秒），四邊形ABQP的面積為y（cm2）.

(1)求y關于x函數解析式，并寫出它的定義域；

(2)在移動的過程中，PQ是否可能平分對角線AC？若能，求出x的值；若不能，請說明理由；

(3)在移動的過程中，是否從在x使得PQ=AB，若存在求出所有x的值，若不存在請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）2x+10，（0≤x≤5）；（2）能，x=3;（3）存在，當x=或x=時，PQ=AB

【解析】

（1）根據題意求出梯形的高，根據梯形的面積公式寫出y關于x的函數解析式和定義域；
（2）四邊形ABQP的面積與四邊形QCDP的面積相等時，四邊形ABQP的面積=四邊形ABCD的面積的一半列出算式解答即可；
（3）根據平行四邊形的性質和等腰梯形的性質解答即可．

（1）如圖1，作AE⊥BC于E，DF⊥BC與F，
∵AB=CD=AD=5cm，BC=11cm，
∴BQ=CF=3，
由勾股定理得，AE=4，
則y=×（5-x+2x）×4=2x+10，（0≤x≤5）；
（2）四邊形ABQP的面積與四邊形QCDP的面積相等時，
四邊形ABQP的面積=四邊形ABCD的面積的一半，
即2x+10=×（5+11）×4，
解得，x=3；
（3）如圖2，當四邊形ABQP為平行四邊形時，PQ=AB，
即AP=BQ，此時，5-x=2x，
解得，x=，
如圖3，當四邊形ABQP為等腰梯形時，PQ=AB，
此時四邊形PQCD是平行四邊形，
x=11-2x，
解得，x=，
∴當x=或x=時，PQ=AB．