Question

【題目】如圖1，矩形ABCD中，AB＝，BC＝9，點E在BC邊上，BE＝4，點F，G在線段AD上運動（點F在點G的左側），且始終保持FG＝BE．

（1）求證：四邊形BEGF是平行四邊形；

（2）當四邊形BEGF是菱形時，求線段DG的長；

（3）將△BEF沿EF折疊得到△B′EF，連結B′G（如圖2），當以點B′，G，E，F為頂點的四邊形是矩形時，直接寫出線段DG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DG＝5；（3）DG＝1或2或4

【解析】

（1）根據矩形的性質得出AD∥BC，即可得出四邊形BEGF是平行四邊形；
（2）根據菱形的性質得出BF＝FG＝BE＝4，再用勾股定理即可；
（3）分兩種情況討論，①當BF⊥EF，由直角三角形的面積得出EFBF＝4，再利用勾股定理得出BF2＋EF2＝16，聯立方程組求出BF，再用勾股定理求出AF即可，②當EF⊥BC時，四邊形ABEF是矩形，即可求出DG的長度．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∵FG＝BE，

∴四邊形BEGF是平行四邊形；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝9，∠BAD＝90°，

∵四邊形BEGF是菱形，

∴BF＝FG＝BE＝4，

在Rt△ABF中，AF＝=；

∴DG＝ADAFFG＝94＝5；

（3）∵△BEF沿EF折疊得到△B'EF，

∴∠BFE＝∠B'FE，

∵點B′，G，E，F為頂點的四邊形是矩形，

①當BF⊥EF，過點F作FH⊥BC于H，

∴∠BFE＝∠B'FE＝90°，

∴FH＝，

∵BE＝4，

根據直角三角形的面積得，EFBF＝ABBE＝4

在Rt△BEF中，BF2＋EF2＝16

解得：BF＝2或BF＝2，

當BF＝2時，根據勾股定理得，AF＝1，

DG＝ADAFFG＝914＝4，

當BF＝2，根據勾股定理得，AF＝3，

∴DG＝ADAFFG＝934＝2．

即：DG＝2或4．

②當EF⊥BC時，四邊形ABEF是矩形，

∴AF＝BE＝4，

∵FG＝BE＝4，

∴DG＝ADAFFG＝1，

即：DG＝1或2或4．