Question

【題目】(1)問題發現

如圖1,點E.F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,∠EAF=45°，連接EF、則EF=BE+DF，試說明理由；

(2)類比引申

如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,點E.F分別在邊BC、CD上,∠EAF=45°，若∠B，∠D都不是直角，則當∠B與∠D滿足等量關系 時，仍有EF=BE+DF；

(3)聯想拓展

如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D、E均在邊BC上,且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC滿足的等量關系，并寫出推理過程。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFG≌△AFE，根據全等三角形的性質得出EF=FG，即可得出答案；

（2）把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFE≌△AFG，根據全等三角形的性質得出EF=FG，即可得出答案；

（3）把△ACE旋轉到ABF的位置，連接DF，證明△AFE≌△AFG（SAS），則EF=FG，∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根據勾股定理即可作出判斷．

試題解析：(1)理由是：如圖1，

∵AB=AD，

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90至△ADG，可使AB與AD重合，如圖1，

∵∠ADC=∠B=90，

∴∠FDG=180，點F. D. G共線，

則∠DAG=∠BAE，AE=AG，

∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=9045=45=∠EAF，

即∠EAF=∠FAG，

在△EAF和△GAF中，

AF=AF，∠EAF=∠GAF，AE=AG，

∴△AFG≌△AFE(SAS)，

∴EF=FG=BE+DF；

(2)∠B+∠D=180時，EF=BE+DF；

∵AB=AD，

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90至△ADG，可使AB與AD重合，如圖2，

∴∠BAE=∠DAG，

∵∠BAD=90,∠EAF=45，

∴∠BAE+∠DAF=45，

∴∠EAF=∠FAG，

∵∠ADC+∠B=180，

∴∠FDG=180，點F. D. G共線，

在△AFE和△AFG中，

AE=AG，∠FAE=∠FAG，AF=AF，

∴△AFE≌△AFG(SAS)，

∴EF=FG，

即：EF=BE+DF，

故答案為：∠B+∠ADC=180；

(3)BD2+CE2=DE2.

理由是：把△ACE旋轉到ABF的位置，連接DF，

則∠FAB=∠CAE.

∵∠BAC=90,∠DAE=45，

∴∠BAD+∠CAE=45，

又∵∠FAB=∠CAE，

∴∠FAD=∠DAE=45，

則在△ADF和△ADE中，

AD=AD，∠FAD=∠DAE，AF=AE，

∴△ADF≌△ADE，

∴DF=DE,∠C=∠ABF=45，

∴∠BDF=90，

∴△BDF是直角三角形,

∴BD2+BF2=DF2，

∴BD2+CE2=DE2.