Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．點P從A點出發沿A→C→B路徑以每秒1cm的運動速度向終點B運動；同時點Q從B點出發沿B→C→A路徑以每秒vcm的速度向終點A運動．分別過P和Q作PE⊥AB于E，QF⊥AB于F．

（1）設運動時間為t秒，當t＝　 　時，直線BP平分△ABC的面積．

（2）當Q在BC邊上運動時（t＞0），且v＝1時，連接AQ、連接BP，線段AQ與BP可能相等嗎？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．

（3）當Q的速度v為多少時，存在某一時刻（或時間段）可以使得△PAE與△QBF全等．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）當Q在BC邊上運動時（t＞0），且v＝1時、線段AQ與BP不可能相等；（3）當v＝cm/s時．t＝時，△PAE與△QBF全等．

【解析】

(1)根據三角形的中線分三角形面積相等的兩部分，可得當AP＝PC時，直線BP平分△ABC的面積由此即可解決問題.

(2) 假設可能相等，利用勾股定理構建方程即可解決問題.

(3)分兩種情形: ①當點Q在線段BC上時，PA=BQ時，△AEP≌△FQB， ②當P，Q在AC邊上相遇時，且PA=PB時, △PAE與△QBF全等.分別求解即可解決問題.

解：（1）當AP＝PC時，直線BP平分△ABC的面積．此時t＝4．

故答案為4．

（2）假設可能相等．則有82+（6﹣t）2＝62+（8﹣t）2，

解得t＝0，不符合題意，

所以當Q在BC邊上運動時（t＞0），且v＝1時、線段AQ與BP不可能相等．

（3）①當點Q在線段BC上時，

在Rt△AEP和Rt△BFQ中，

∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，∠C＝90°，

∴∠A+∠B＝90°，∠B+∠BQF＝90°，

∴∠A＝∠BQF，

∴當PA＝BQ時，△AEP≌△FQB，

∴當v＝1cm/s時，0＜t≤6時，△PAE與△QBF全等．

②當P，Q在AC邊上相遇時，且PA＝PB時，△PAE與△QBF全等．設此時PA＝PB＝x，

在Rt△PBC中，∵PB2＝PC2+BC2，

∴x2＝（8﹣x）2+62，

∵當P，Q在AC邊上相遇，可得

解得

∴當v＝cm/s時．t＝時，△PAE與△QBF全等．