Question

【題目】已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是對角線BD上的一個動點（點P不與點B、D重合），過點P作PF⊥BD，交射線BC于點F．聯結AP，畫∠FPE=∠BAP，PE交BF于點E．設PD=x，EF=y．

（1）當點A、P、F在一條直線上時，求△ABF的面積；

（2）如圖1，當點F在邊BC上時，求y關于x的函數解析式，并寫出函數定義域；

（3）聯結PC，若∠FPC=∠BPE，請直接寫出PD的長．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）y=；（3）PD的長為±1或．

【解析】試題分析：（1）根據矩形ABCD ， A、P、F在一條直線上，且PF⊥BD，可得， ，得一，從而可得 ；

（2）先證明∽ ，從而得到 ，由AD//BC ，可得，從而根據三角函數可得 ，由得 ，代入，即可得；

（3）分∠CPF的∠FPE的內部與外部兩種情況進行討論即可得.

試題解析：（1）∵矩形ABCD ，∴，

∴ ， ∵A、P、F在一條直線上，且PF⊥BD，

∴ ， ∴，

∴，∵，

∴ ， ∴，

∴ ；

（2）∵PF⊥BP ，∴，

∴ ，∵ ，∴，

∴， 又∵∠BAP =∠FPE，

∴∽ ，∴ ，

∵AD//BC ， ∴，

∴ ， 即 ，

∵ ， ∴ ，

∴，

∴；

（3）∠CPF=∠BPE，

①如圖所示，當點F在CE上時，

∵∠BPF=∠FPD=90°，∴∠DPC=∠FPE，

∵∠FPE=∠BAP，∴∠DPC=∠BAP，

∵AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，

∴△PAB∽△CPD，

∴PB：CD=AB：PD，

∴PB·PD=CD·AB，

∴x（）=2×2，

∴x=；

②如圖所示，當點F在EC延長線上時，

過點P作PN⊥CD于點N，在CD上取一點M，連接PM，使∠MPF=∠CPF，

則有PC：PM=CH：MH，

∵∠BPF=∠DPF=90°，∴∠BPC=∠DPM，

∵∠BPE=∠CPF，∴∠BPE=∠EPF，

∵∠BAP=∠FPE，∴∠BAP=∠DPM，

∵∠ABD=∠BDC，

∴△PAB∽△MPD，

∴PB：MD=AB：PD，

由PD=x，tan∠PDM=tan∠PFC=2，

易得：DN= ，PN= ，CN=2- ，

PH=2x，FH= ，CH=2-x，

由PB：MD=AB：PD可得MD= ，從而可得MN，

在Rt△PCN中利用勾股定理可得PC，

由PC：PM=CH：MH可得PM，

在在Rt△PMN中利用勾股定理可得關于x 的方程，

解得x= ，

綜上：PD的長為： 或 .