Question

如圖，在□ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE=∠B．
（1）求證：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的長．

Answer 1

(1)證明見解析；（2）6.

解析試題分析：（1）利用對應兩角相等，證明兩個三角形相似△ADF∽△DEC；
（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出線段DE的長度；然后在在Rt△ADE中，利用勾股定理求出線段AE的長度．
（1）證明：∵?ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C．
在△ADF與△DEC中，

∴△ADF∽△DEC．
（2）∵△ADF∽△DEC，
∴  
又 ∵ CD=AB=8，AD=6，AF= 4.
代入求得DE="12" ，
四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AE⊥BC，∴ AE⊥AD，
在Rt△AED中，由勾股定理可得AE=6. 
考點：1.相似三角形的判定與性質；2.勾股定理；3.平行四邊形的性質．