Question

【題目】如圖1，AB是⊙O的直徑，過⊙O上一點C作直線l，AD⊥l于點D．

（1）連接AC、BC，若∠DAC=∠BAC，求證:直線l是⊙O的切線；

（2）將圖1的直線l向上平移，使得直線l與⊙O交于C、E兩點，連接AC、AE、BE， 得到圖2． 若∠DAC=45°，AD=2cm，CE=4cm，求圖2中陰影部分(弓形)的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）連接OC， 由角平分線的定義和等腰三角形的性質，得，從而得l⊥OC，進而即可得到結論；

（2）由圓的內接四邊形的性質和圓周角定理的推論，得△ABE是等腰直角三角形，通過勾股定理得的長，從而求出，連接OE，求出，進而即可求解．

（1） 連接OC，

∵，

∴，

∵∠DAC=∠BAC，

∴，

∵在Rt△ADC中∠DAC+∠ACD=90°，

∴，即直線l⊥OC，

∴直線l是⊙O的切線；

（2）∵ 四邊形ACEB內接于圓，

∴ ，

又∵直徑AB所對圓周角，

∴△ADC與△ABE都是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∵，

連接OE，則，

∴，

∴圖中陰影部分面積=．