Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC邊于點D，過點C作CP∥AB，在CP上截取CF=CD，連接BF．

(1)求證：直線BF是⊙O的切線；

(2)若AB=5，BC=，求線段CD和BF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）4

【解析】試題分析：（1）連接BD，由AB是直徑可得∠BDC=90°，通過證明△BCD≌△BCF，從而得證∠BDC=∠BFC=90°，再根據CP∥AB，從而得∠ABC=90°，即可證明BF是⊙O的切線；

（2）設CD=x，則AD=5－x， 根據勾股定理， ，即可求得x值，從而求得BD值，再根據全等三角形的對應邊相等即可得.

試題解析：(1)連接BD，

∵ AB是直徑，∴∠ADB=90°，∴∠BDC=90°，

∵AB=AC，∴∠ABC =∠ACB，

∵CP∥AB，∴∠ABC =∠BCF，∴ ∠ACB=∠BCF ，

由CF=CD，BC=BC，∴△BCD≌△BCF，∴∠BDC=∠BFC=90°，

∵CP∥AB，∴∠ABC=90°，

∴BF是⊙O的切線；

（2）設CD=x，則AD=5－x，

根據勾股定理， ，

即，解得x＝2，

∴CD=2，BD=4 ，

由（1）知△BCD≌△BCF ，∴BD=BF=4.