Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑， BC交⊙O于點(diǎn)D，E是的中點(diǎn)，連接AE交BC于點(diǎn)F，∠ACB =2∠EAB．

（1）求證：AC是⊙O的切線(xiàn)；

（2）若，，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

(1)連接AD，如圖，根據(jù)圓周角定理，再根據(jù)切線(xiàn)的判定定理得到AC是⊙O的切線(xiàn)；

(2)作F做FH⊥AB于點(diǎn)H,利用余弦定義，再根據(jù)三角函數(shù)定義求解即可

(1)證明:如圖，連接AD．

∵ E是中點(diǎn)，

∴．

∴ ∠DAE=∠EAB．

∵ ∠C =2∠EAB，

∴∠C =∠BAD.

∵ AB是⊙O的直徑.

∴ ∠ADB=∠ADC=90°．

∴ ∠C+∠CAD=90°．

∴ ∠BAD+∠CAD=90°．

即 BA⊥AC

∴ AC是⊙O的切線(xiàn)．

(2)解：如圖②，過(guò)點(diǎn)F做FH⊥AB于點(diǎn)H．

∵ AD⊥BD，∠DAE=∠EAB，

∴ FH=FD，且FH∥AC．

在Rt△ADC中，

∵，，

∴ CD=6．

同理，在Rt△BAC中，可求得BC= ．

∴BD= ．

設(shè) DF=x，則FH=x，BF=-x．

∵ FH∥AC，

∴ ∠BFH=∠C．

∴．

即．

解得x=2．

∴BF=．