Question

【題目】如圖，△內接于⊙， 60°，是⊙的直徑，點是延長線上的一點，且.

（1）求證： 是⊙的切線；

（2）若，求⊙的直徑.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）⊙的直徑為

【解析】試題分析：（1）連結AD，OA，如圖，根據圓周角定理得∠DAC＝90°，∠ADC＝∠B＝60°，則利用三角形內角和定理得∠ACD＝30°，由于AP＝AC，利用等腰三角形的性質易得∠P＝30°．可得△OAD為等邊三角形，則∠DOA＝60°，而∠P＝30°，則可計算出∠OAP＝90°，然后根據切線的判定定理得到PA是⊙O的切線；

（2）在Rt△APO中，根據含30度的直角三角形性質得到OA＝OP，即OD＋PD＝2OA，而OD＝OA，于是有OA＝PD＝，從而得到圓的直徑．

【解答】（1）證明：連結AD，OA，如圖，

∵CD是⊙O的直徑，

∴∠DAC＝90°，

∵∠ADC＝∠B＝60°，

∴∠ACD＝30°，

∵AP＝AC，

∴∠P＝∠ACP＝30°．

∵OD＝OA，∠ADO＝60°，

∴△OAD為等邊三角形，

∴∠DOA＝60°，

而∠P＝30°，

∴∠OAP＝90°，

∴OA⊥AP，

∴PA是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△APO中，∵∠P＝30°，

∴OA＝OP，即OD＋PD＝2OA，

而OD＝OA，

∴OA＝PD＝，

∴⊙O的直徑為 ．