Question

若2⁴⁸-1可以被大于60小于70之間的兩個數整除，求這兩個數．
[變式]81⁷-27⁹-9¹³必能被45整除嗎？試說明理由．

Answer 1

2⁴⁸-1=（2²⁴+1）（2²⁴-1），
=（2²⁴+1）（2¹²+1）（2¹²-1），
=（2²⁴+1）（2¹²+1）（2⁶+1）（2⁶-1）；
∵2⁶=64，
∴2⁶-1=63，2⁶+1=65，
∴這兩個數是65、63．

81⁷-27⁹-9¹³，
=3²⁸-3²⁷-3²⁶，
=3²⁴（3⁴-3³-3²），
=3²⁴×45，
∴81⁷-27⁹-9¹³必能被45整除．