Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．點P從A點出發沿A→C→B路徑向終點運動，終點為B點；點Q從B點出發沿B→C→A路徑向終點運動，終點為A點．點P和Q分別以每秒1cm和3cm的運動速度同時開始運動，兩點都要到相應的終點時才能停止運動，在某時刻，分別過P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．設運動時間為t秒，則當t=_________秒時，△PEC與△QFC全等．

Answer 1

【答案】1或或12

【解析】根據題意化成三種情況，根據全等三角形的性質得出CP=CQ，代入得出關于t的方程，求出即可．

解：分為三種情況：①如圖1，P在AC上，Q在BC上，

∵PE⊥l，QF⊥l，
∴∠PEC=∠QFC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠EPC+∠PCE=90°，∠PCE+∠QCF=90°，
∴∠EPC=∠QCF，
則△PCE≌△CQF，
∴PC=CQ，
即6-t=8-3t，
t=1；
②如圖2，P在BC上，Q在AC上，

∵由①知：PC=CQ，
∴t-6=3t-8，
t=1；
t-6＜0，即此種情況不符合題意；
③當P、Q都在AC上時，如圖3，

CP=6-t=3t-8，t=；
④當Q到A點停止，P在BC上時，AC=PC，t-6=6時，解得t=12．

P和Q都在BC上的情況不存在，∵P的速度是每秒1cm，Q的速度是每秒3cm；
故答案為：1或或12．

“點睛”本題考查了全等三角形的判定和性質的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應邊相等．