Question

【題目】（如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，延長CB至點F，使CF=CA，連接AF，∠ACF的平分線分別交AF，AB，BD于點E，N，M，連接EO，已知BD=2 ．
（1）求正方形ABCD的邊長；
（2）求OE的長；
（3）①求證：CN=AF；②直接寫出四邊形AFBO的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=CD=BC，∠BCD=∠ABC=90°，

∴2BC2=BD2，

∵BD=2 ，

∴AB=BC=2，

∴正方形ABCD的邊長為2

（2）解：∵CF=CA，AF是∠ACF的平分線，

∴CE⊥AF，

∴∠AEC=∠CEF=90°，E為AF的中點，

∵正方形ABCD，

∴O為AC的中點，AC=BD=2 ，

∴OE= CF= BD=

（3）①證明：∠ABF=∠CBN=∠CEF=90°，AB=BC，

∴∠ECB+∠F=∠FAB+∠F=90°，

∴∠ECB=∠FAB，

在△NCB與△FAB中，

，

∴△NCB≌△FAB，

∴CN=AF．

②四邊形AFBO的面積=△CBN的面積+△ABO的面積=

【解析】（1）利用正方形的性質和勾股定理計算即可；（2）利用正方形的性質解答即可；（3）判斷出∠OEC=∠OCE，再判斷出∠NBC=∠COM=90°，進而得出△CBN∽△COM，即可得出結論．