Question

【題目】如圖1，已知△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF和△OFA均為邊長為a的等邊三角形，點P為邊BC上任意一點，過P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．

（1）那么∠MPN=______，并求證PM+PN=3a；

（2）如圖2，聯結OM、ON．求證：OM=ON；

（3）如圖3，OG平分∠MON，判斷四邊形OMGN是否為特殊四邊形，并說明理由．

Answer 1

【答案】60°；

【解析】（1）由∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC即可得出∠MPN的度數；作AG⊥MP交MP于點G，BH⊥MP于點H，CL⊥PN于點L，DK⊥PN于點K，利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解；

（2）由SAS證明△OMA≌△ONE，得出對應邊相等即可；

（3）由△OMA≌△ONE得出∠MOA=∠EON，再證出△GOE≌△NOD，得出OG=ON，由△ONG是等邊三角形和△MOG是等邊三角形即可得出四邊形MONG是菱形．

（1）解：∵△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF和△OFA均為邊長為a的等邊三角形

∴六邊形ABCDEF是邊長為a的正六邊形，

∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°

又∴PM∥AB，PN∥CD，

∴∠BPM=60°，∠NPC=60°，

∴∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC=180°﹣60°﹣60°=60°，

故答案為：60°；

作AG⊥MP交MP于點G，BH⊥MP于點H，CL⊥PN于點L，DK⊥PN于點K，如圖所示：

MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN

∵正六邊形ABCDEF中，PM∥AB，作PN∥CD，

∵∠AMG=∠BPH=∠CPL=∠DNK=60°，

∴GM=AM，HP=BP，PL=PC，NK=ND，

∵AM=BP，PC=DN，

∴MG+HP+PL+KN=a，GH=LK=a，

∴MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3a．

（2）證明：由（1）得：六邊形ABCDEF是正六邊形，AB∥MP，PN∥DC，

∴AM=BP=EN，

∵∠MAO=∠OEN=60°，OA=OE，

在△OMA和△ONE中，

，

∴△OMA≌△ONE（SAS）

∴OM=ON．

（3）解：四邊形MONG是菱形；理由如下：

由（2）得，△OMA≌△ONE，

∴∠MOA=∠EON，

∵EF∥AO，AF∥OE，

∴四邊形AOEF是平行四邊形，

∴∠AFE=∠AOE=120°，

∴∠MON=120°，

∴∠GON=60°，

∵∠GOE=60°﹣∠EON，∠DON=60°﹣∠EON，

∴∠GOE=∠DON，

∵OD=OE，∠ODN=∠OEG，

在△GOE和△DON中，

，

∴△GOE≌△NOD（ASA），

∴OG=ON，

又∵∠GON=60°，

∴△ONG是等邊三角形，

∴ON=NG，

又∵OM=ON，∠MOG=60°，

∴△MOG是等邊三角形，

∴MG=GO=MO，

∴MO=ON=NG=MG，

∴四邊形MONG是菱形．

“點睛”本題是四邊形的綜合題目，考查了等邊三角形的性質與判定、全等三角形的判定與性質、正六邊形的性質、平行四邊形的判定與性質、菱形的判定等知識；本題綜合性強，難度較大，需要多次證明三角形全等和等邊三角形才能得出結論．