【題目】已知拋物線y＝（1﹣m）x2﹣mx﹣1與x軸交于A、B兩點，頂點為P．
（1）求m的取值范圍；
（2）若A、B位于原點兩側，求m的取值范圍；
（3）若頂點P在第四象限，求m的取值范圍．
【答案】（1）m≠2且m≠1；（2）m＜1；（3）0＜m＜1．
【解析】
（1）根據二次函數與一元二次方程的關系可得△>0，進而可得關于m的不等式，解不等式并結合二次項系數不為0即得結果；
（2）由題意得：y=0時對應方程的兩根異號，即x1x2＜0，然后根據根與系數的關系解答即可；
（3）先用m的代數式表示出頂點坐標，然后根據頂點的位置可得關于m的不等式組，解不等式組即得結果．
解：（1）根據題意，得：△＝m2+4（1﹣m）＞0，且1﹣m≠0，解得：m≠2且m≠1；
（2）設A（x1，0）、B（x2，0），則x1、x2是（1﹣m）x2﹣mx﹣1=0的兩個根，由題意得：x1x2＜0，即
，解得：m＜1；
（3）由頂點坐標公式可得：點P的坐標為
，
∵點P在第四象限，∴
，解得：0＜m＜1．
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【題目】如圖，把某矩形紙片ABCD沿EF、GH折疊（點E、H在AD邊上，點F、G在BC邊上），使得點B、點C落在AD邊上同一點P處，A點的對稱點為
點，D點的對稱點為
點，若
，
的面積為4，
的面積為1，則矩形ABCD的面積等于_____.
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【題目】在學習了矩形后，數學活動小組開展了探究活動.如圖1，在矩形
中，
，
，點
在
上，先以
為折痕將
點往右折，如圖2所示，再過點作
，垂足為
，如圖3所示.
（1）在圖3中，若
，則
的度數為______，
的長度為______.
（2）在（1）的條件下，求
的長.
（3）在圖3中，若
，則
______.
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【題目】一個批發商銷售成本為20元/千克的某產品，根據物價部門規定：該產品每千克售價不得超過90元，在銷售過程中發現的售量y（千克）與售價x（元/千克）滿足一次函數關系，對應關系如下表：
售價x（元/千克） | … | 50 | 60 | 70 | 80 | … |
銷售量y（千克） | … | 100 | 90 | 80 | 70 | … |
（1）求y與x的函數關系式；
（2）該批發商若想獲得4000元的利潤，應將售價定為多少元？
（3）該產品每千克售價為多少元時，批發商獲得的利潤w（元）最大？此時的最大利潤為多少元？
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【題目】閱讀理解：給定一個矩形，如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半，則這個矩形是給定矩形的“減半”矩形．如圖矩形
是矩形ABCD的“減半”矩形．
請你解決下列問題：
（1）當矩形的長和寬分別為1,2時，它是否存在“減半”矩形？請作出判斷，并請說明理由;
（2）邊長為
的正方形存在“減半”正方形嗎？如果存在，求出“減半”正方形的邊長；如果不存在，說明理由.
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【題目】一個邊長為60米的正六邊形跑道，P、Q兩人同時從A處開始沿相反方向都跑一圈后停止，P以4米/秒逆時針方向、Q以5米/秒順時針方向，PQ的距離為d米，設跑步時間為x秒，令d2＝y，
（1）跑道全長為 米，經過 秒兩人第一次相遇．
（2）當P在BC上，Q在EF上時，求y關于x的函數解析式；并求相遇前當x為多少時，他們之間的距離最大．
（3）直接寫出P、Q在整個運動過程中距離最大時的x的值及最大的距離．
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【題目】已知拋物線的解析式是y＝x2﹣（k+2）x+2k﹣2．
（1）求證：此拋物線與x軸必有兩個不同的交點；
（2）若拋物線與直線y＝x+k2﹣1的一個交點在y軸上，求該二次函數的頂點坐標．
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【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，E為斜邊AB的中點，點P是射線BC上的一個動點，連接AP、PE，將△AEP沿著邊PE折疊，折疊后得到△EPA′，當折疊后△EPA′與△BEP的重疊部分的面積恰好為△ABP面積的四分之一，則此時BP的長為_____．
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【題目】湘潭市繼2017年成功創建全國文明城市之后，又準備爭創全國衛生城市．某小區積極響應，決定在小區內安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱，若購買2個溫馨提示牌和3個垃圾箱共需550元，且垃圾箱的單價是溫馨提示牌單價的3倍．
（1）求溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是多少元？
（2）該小區至少需要安放48個垃圾箱，如果購買溫馨提示牌和垃圾箱共100個，且費用不超過10000元，請你列舉出所有購買方案，并指出哪種方案所需資金最少？最少是多少元？
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