Question

【題目】如圖，矩形ABC0位于直角坐標(biāo)平面，O為原點(diǎn)，A、C分別在坐標(biāo)軸上，B的坐標(biāo)為（8，6），線段BC上有一動(dòng)點(diǎn)P，已知點(diǎn)D在第一象限．

（1）D是直線y＝2x+6上一點(diǎn)，若△APD是等腰直角三角形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）D是直線y＝2x﹣6上一點(diǎn)，若△APD是等腰直角三角形．求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）D（4，14）；（2）（4，2）或（，）或（，）．

【解析】

（1）根據(jù)題意可知AD＝AP，作輔助線,證明△ADE≌△PAF（AAS），求得OE,代入函數(shù)解析式即可求得D坐標(biāo),

（2）分三種情況：當(dāng)∠ADP＝90°時(shí)，D在AB上方和下方,當(dāng)∠APD＝90°時(shí).設(shè)PC=m,分別表示出D點(diǎn)坐標(biāo),代入y＝2x﹣6,即可解題,

解；（1）如圖1所示，作DE⊥y軸于E點(diǎn)，作PF⊥y軸于F點(diǎn)，可得∠DEA＝∠AFP＝90°，

根據(jù)題意可知當(dāng)△APD為等腰直角三角形時(shí)，只有∠DAP＝90°滿足條件，

∴AD＝AP，∠DAP＝90°，

∴∠EAD+∠DAB＝90°，∠DAB+∠BAP＝90°，

∴∠EAD＝∠BAP，

∵AB∥PF，

∴∠BAP＝∠FPA，

∴∠EAD＝∠FPA，

在△ADE和△PAF中，

,

∴△ADE≌△PAF（AAS），

∴AE＝PF＝8，OE＝OA+AE＝14，

設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x，由14＝2x+6，得x＝4，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（4，14）；

（2）由點(diǎn)D在直線y＝2x﹣6上，可設(shè)PC＝m，

如圖2所示，當(dāng)∠ADP＝90°時(shí)，AD＝PD，易得D點(diǎn)坐標(biāo)（4，2）；

如圖3所示，當(dāng)∠APD＝90°時(shí)，AP＝PD，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，m），

則D點(diǎn)坐標(biāo)為（14﹣m，m+8），由m+8＝2（14﹣m）﹣6，得m＝，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)（，）；

如圖4所示，當(dāng)∠ADP＝90°時(shí)，AD＝PD時(shí)，

同理可求得D點(diǎn)坐標(biāo)（，），

D點(diǎn)坐標(biāo)分別為（4，2）或（，）或（，）．