Question

(9分)如圖所示，在邊長為1的正方形ABCD中，一直角三角尺PQR的直角頂點P在對角線AC上移動，直角邊PQ經過點D，另一直角邊與射線BC交于點E.

⑴試判斷PE與PD的大小關系，并證明你的結論；

⑵連接PB，試證明：△PBE為等腰三角形；

⑶設AP＝x，△PBE的面積為y，

①求出y關于x函數關系式；

②當點P落在AC的何處時，△PBE的面積最大，此時最大值是多少？

 

Answer 1

證明：（1） 過點P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F. 如圖所示.

∵ 四邊形ABCD是正方形，

∴ 四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，

△AGP和△PFC都是等腰直角三角形………1分 

∴ GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°

又∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°∴∠1=∠2………2分 

又PF=GD，∠PFE =∠PGD=90°

∴ Rt△EFP≌Rt△PGD （ASA）.           

∴ PE=PD………3分                         

（2）∵AD=AB  ∠PAB=∠PAD=45° AP=AP

∴△APB≌△APD（SAS）………4分   

∴PB=PD

∴PE=PB

∴△PBE為等腰三角形 ………6分   

（3）①∵AP=x

∴,………7分        

 

∴. 

 

即()………8分   

 

②.

 

∵，

 

∴當時,………9分     

 

解析:略