Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB=3，BC=4，P是BC邊上的動點，設BP=x，若能在AC邊上找到一點Q，使∠BQP=90°，則x的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】3≤x≤4
【解析】解：過BP中點O，以BP為直徑作圓， 連接QO，當QO⊥AC時，QO最短，即BP最短，
∵∠OQC=∠ABC=90°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△OQC，
∴ ，
∵AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∵BP=x，
∴QO= x，CO=4﹣ x，
∴ ，
解得：x=3，
當P與C重合時，BP=4，
∴BP=x的取值范圍是：3≤x≤4，
所以答案是：3≤x≤4．

【考點精析】根據題目的已知條件，利用勾股定理的概念和直線與圓的三種位置關系的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點．