Question

如圖，點A為⊙O直徑CB延長線上一點，過點A作⊙O的切線AD，切點為D，過點D作DE⊥AC，垂足為F，連接BE、CD、CE，已知∠BED=30°．
（1）求tanA的值；
（2）若AB=2，試求CE的長．
（3）在（2）的條件下，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OD，根據切線的性質，∠ADO=90°，從而易證∠BOD=60°，所以∠A是特殊角等于30°，所以sinA=

1

2

．
（2）求弦長，要作弦的弦心距，構造直角三角形，并利用（1）的結論，求出圓的半徑，從而求出弦長．
（3）通過證明△BEF≌△ODF，將陰影部分不規則圖形的面積轉化為規則圖形的面積，也就是扇形BOD的面積．

解答：解：（1）連接OD，
∵DA為⊙O的切線，切點為D，
∴OD⊥AD，∠ADO=90°，
又∵∠BED=30°，
∴∠BOD=60°，
∴∠A=30°，
∴tanA=

3

3

．

（2）過點O作OG⊥EC于點G
∴sinA=

OD

OA

=

R

R+AB

=

R

R+2

=

1

2

，
得R=2，
∴OC=2，
∵DE⊥AC，BC為直徑，
∴弧BE=弧BD，
∴∠ECB=∠BED=30°，
∴CE=2CG=2•OCcos30°=2

3

．

（3）∵由（1）∠BOD=60°得∠ODF=30°，
∴OF=

1

2

OD=

1

2

OB，即OF=FB，
由DE⊥AC，BC為直徑，
得EF=FD，∠OFD=∠BFE=90°，
∴△BEF≌△ODF，
∴陰影部分面積等于扇形BOD的面積S=

60π•22

360

=

2π

3

．

點評：本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．