Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠BAD =90°，AC是對角線．點E在BC的延長線上，且∠CED =∠BAC．

（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）BA與CD的延長線交于點F，若DE∥AC，AB=4，AD =2，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）DE與⊙O相切，證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接BD，先根據圓周角定理證明BD是⊙O的直徑，證明∠BDC+∠CDE=90°，即BD⊥DE，即可得出DE與⊙O相切；

（2）先根據平行線的性質得∠BHC=∠BDE=90°，由垂徑定理得AH=CH，由垂直平分線的性質得BC=AB=4，CD=AD=2，證明△FAD∽△FCB，列比例式得CF=2AF，設AF=x，則DF=CF-CD=2x-2，根據勾股定理列方程可解答．

解：（1）DE與⊙O相切，

理由是：連接BD，如下圖，

∵四邊形ABCD內接于⊙O，∠BAD=90°，
∴BD是⊙O的直徑，即點O在BD上，
∴∠BCD=90°，
∴∠CED+∠CDE=90°．
∵∠CED=∠BAC，
又∵∠BAC=∠BDC，

∴∠CED=∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE=90°，即∠BDE=90°，
∴DE⊥BD于點D，
∴DE與⊙O相切．

（2）如下圖，BD與AC交于點H，

∵DE∥AC，
∴∠BHC=∠BDE=90°．
∴BD⊥AC．
∴AH=CH．
∴BC=AB=4，CD=AD=2．
∵∠FAD=∠FCB=90°，∠F=∠F，
∴△FAD∽△FCB，

，

∴CF=2AF，

設AF=x，則DF=CF-CD=2x-2．
在Rt△ADF中，DF2=AD2+AF2，
∴（2x-2）2=22+x2．

解得： （舍去），

．