Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC的中點為O，過點O作AC的垂線分別與AD、BC相交于點E、F，連接AF．求證：AE=AF．

Answer 1

證明：連接CE，
∵EF是線段AC的垂直平分線，
∴AE=CE，OA=OC，
∵AE∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
在△AOE與△COF中，
∵

∠ACB=∠DAC OA=OC ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵AE=CE，
∴四邊形AFCE是菱形，
∴AE=AF．

另法：∵AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
∵

∠OAE=∠OCF OA=OC ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚，
∴OE=OF，
∴AC垂直平分EF，
∴AE=AF．