Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為原點，點A（﹣2，0），點B（0，2），點E，點F分別為OA，OB的中點．若正方形OEDF繞點O順時針旋轉，得正方形OE′D′F′，記旋轉角為α．
（Ⅰ）如圖①，當α=90°時，求AE′，BF′的長；
（Ⅱ）如圖②，當α=135°時，求證AE′=BF′，且AE′⊥BF′；
（Ⅲ）若直線AE′與直線BF′相交于點P，求點P的縱坐標的最大值（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當α=90°時，點E′與點F重合，如圖①．
∵點A（﹣2，0）點B（0，2），
∴OA=OB=2．
∵點E，點F分別為OA，OB的中點，
∴OE=OF=1
∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF繞點O順時針旋轉90°得到的，
∴OE′=OE=1，OF′=OF=1．
在Rt△AE′O中，
AE′= ．
在Rt△BOF′中，
BF′= ．
∴AE′，BF′的長都等于 ．
（Ⅱ）當α=135°時，如圖②．

∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF繞點O順時針旋轉135°所得，
∴∠AOE′=∠BOF′=135°．
在△AOE′和△BOF′中，
，
∴△AOE′≌△BOF′（SAS）．
∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′．
∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，
∴∠CPB=∠AOC=90°
∴AE′⊥BF′．
（Ⅲ）∵∠BPA=∠BOA=90°，∴點P、B、A、O四點共圓，
∴當點P在劣弧OB上運動時，點P的縱坐標隨著∠PAO的增大而增大．
∵OE′=1，∴點E′在以點O為圓心，1為半徑的圓O上運動，
∴當AP與⊙O相切時，∠E′AO（即∠PAO）最大，
此時∠AE′O=90°，點D′與點P重合，點P的縱坐標達到最大．
過點P作PH⊥x軸，垂足為H，如圖③所示．

∵∠AE′O=90°，E′O=1，AO=2，
∴∠E′AO=30°，AE′= ．
∴AP= +1．
∵∠AHP=90°，∠PAH=30°，
∴PH= AP= ．
∴點P的縱坐標的最大值為 ．
【解析】（1）利用勾股定理即可求出AE′，BF′的長．（2）運用全等三角形的判定與性質、三角形的外角性質就可解決問題．（3）首先找到使點P的縱坐標最大時點P的位置（點P與點D′重合時），然后運用勾股定理及30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識即可求出點P的縱坐標的最大值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解三角形的外角(三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角)，還要掌握含30度角的直角三角形(在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)的相關知識才是答題的關鍵．