Question

【題目】對于平面直角坐標系中的圖形M，N，給出如下定義：如果點P為圖形M上任意一點，點Q為圖形N上任意一點，那么稱線段PQ長度的最小值為圖形M，N的“近距離”，記作 d（M，N）．若圖形M，N的“近距離”小于或等于1，則稱圖形M，N互為“可及圖形”．

（1）當⊙O的半徑為2時，

①如果點A（0，1），B（3，4），那么d（A，⊙O）=_______,d（B，⊙O）= ________；

②如果直線與⊙O互為“可及圖形”，求b的取值范圍；

（2）⊙G的圓心G在軸上，半徑為1，直線與x軸交于點C，與y軸交于點D，如果⊙G和∠CDO互為“可及圖形”，直接寫出圓心G的橫坐標m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）① 1，3；②；（2），.

【解析】

（1） ①根據圖形M，N間的“近距離”的定義結合已知條件求解即可．

②根據可及圖形的定義作出符合題意的圖形，結合圖形作答即可；

（2）分兩種情況進行討論即可.

（1）① 如圖：

根據近距離的定義可知：d（A，⊙O）=AC=2-1=1.

過點B作BE⊥x軸于點E，則

OB= =5

∴d（B，⊙O）=OB-OD=5-2=3.

故答案為1，3.

② ∵由題意可知直線與⊙O互為“可及圖形”，⊙O的半徑為2，

∴．

∴．

∴ ．

（2）①當⊙G與邊OD是可及圖形時，d（O，⊙G）=OG-1,

∴

即-1≤m-1≤1

解得：.

②當⊙G與邊CD是可及圖形時，如圖，過點G作GE⊥CD于E,

d（E，⊙G）=EG-1,

由近距離的定義可知d（E，⊙G）的最大值為1，

∴此時EG=2，

∵∠GCE=45°，

∴GC=2 .

∵OC=5,

∴OG=5-2.

根據對稱性，OG的最大值為5+2.

∴

綜上所述，m的取值范圍為：或