Question

【題目】已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中點，ED與AB的延長線相交于點F．

（1）求證：DE為⊙O的切線．

（2）求證：AB：AC=BF：DF．

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】

（1）連接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根據切線的判定推出即可；

（2）證△ABD∽△CAD，劉，證△FAD∽△FDB，得，即可得出AB：AC=BF：DF。

證明：（1）連接DO、DA，

∵AB為⊙O直徑，∴∠CDA=∠BDA=90°。

∵CE=EA，∴DE=EA。∴∠1=∠4。

∵OD=OA，∴∠2=∠3。

∵∠4+∠3=90°，∴∠1+∠2=90°，即：∠EDO=90°。

∴DE⊥OD。

∵OD是半徑，∴DE為⊙O的切線。

（2）∵∠3+∠DBA=90°，∠3+∠4=90°，

∴∠4=∠DBA。

∵∠CDA=∠BDA=90°，∴△ABD∽△CAD。

∴。

∵∠FDB+∠BDO=90°，∠DBO+∠3=90°，

又∵OD=OB，∴∠BDO=∠DBO。∴∠3=∠FDB。

∵∠F=∠F，∴△FAD∽△FDB。∴。

∴，即AB：AC=BF：DF。