Question

【題目】在△ABC和△ADE中AC=BC,AE=DE , ∠ACB=∠AED=90° , 點E在AB上,F是線段BD的中點,連接CE、FE.

（1）若AD=3,BE=4 ,求EF的長

（2）求證：CE=EF

（3）將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉,使△AED的一邊AE恰好與△ABC的邊AC在同一條直線上(如圖2),連接BD,取BD的中點F,問(2)中的結論是否仍然成立,并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）2.5；（2）見解析；（3）成立，見解析

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質求得DE長，再根據勾股定理求得BD長，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可求；

（2）通過角之間的關系證出，判斷出△ECF是等腰直角三角形，斜邊和直角邊的關系即為結論；

（3）連接CF,延長EF交CB于點G,通過輔助線構建全等模型，即，通過全等三角形的性質證明；也可證明，利用全等三角形的對應邊相等，再結合垂直平分線的性質證明.

解:（1） ，,

,

在中,

又是線段BD的中點, EF=BD=2.5;

（2）如圖1,連接CF,線段CE與FE之間的數量關系是

、C、D、E四點共圓

且BD是該圓的直徑,

點F是BD的中點,

點F是圓心,,

:

,

∴△ECF是等腰直角三角形，

.

（3）（1）中的結論仍然成立.

解法1:如圖,連接CF,延長EF交CB于點G,

,

,

在和中,

,

,

,

為等腰直角三角形,

,

；

解法2:如圖,連結CF、AF,

,

點F是BD的中點,

,

在和中,

,

,

∵FA=FB,CA=CB,

∴CF所在的直線垂直平分線段AB，

同理,EF所在的直線垂直平分線段AD,

∵DA⊥BA,

∴EF⊥CF,

為等腰直角三角形

.