Question

【題目】已知：如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，OD⊥BC于點F，交⊙O于點D，連接AD、CD，∠E=∠ADC.

（1）求證：BE是⊙O的切線；

（2）若BC=6，tanA =，求⊙O的半徑.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）⊙O的半徑為.

【解析】

（1）要證BE是⊙O的切線，即可轉化為證明∠ABE=90°即可；

（2）連接BD，利用垂徑定理與圓周角定理可求出DF的長，設OB=x，則OF=x-DF，再利用勾股定理即可求出x的值，即⊙O的半徑.

（1）證明：∵OD⊥BC

∴∠E+∠FBE=90°

∵∠ADC=∠ABC,∠ADC=∠E

∴∠ABC=∠E∴∠ABC+∠FBE=90°

∴BE與⊙O相切；

（2）連接BD，

∵OD⊥BC，

∴

∴∠BCD=∠CBD，

∵∠A=∠BCD

∴∠CBD=∠A

∴tanA=tan∠CBD=，

∵FC=BF=3，

∴DF=2，

在Rt△CFD中，設半徑OB=x，則OF=x-2，

∴

解得

∴⊙O的半徑為.